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04 - Elementos de finitos de flexión de vigas Diego Andrés Alvarez Marín Profesor Asociado Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales 1 Contenido ● Viga de Euler-Bernoulli ● Viga de Timoshenko – Problema del bloqueo de por cortante (shear locking) – Integración reducida – Imposición del campo de deformación por cortante 2 Teoría de Euler-Bernoulli ● Los desplazamientos verticales (flechas) de todos los puntos de una sección transversal son pequeños e iguales a los del eje de la viga. ● El desplazamiento lateral es nulo (esto es el coeficiente de Poisson se asume cero). ● Las secciones transversales normales al eje de la viga antes de la deformación, permanecen planas y ortogonales a dicho eje después de la deformación. 3 4 Campo de desplazamientos De acuerdo con las hipótesis anteriores el campo de desplazamientos de un punto cualquiera se puede escribir como: 5 Campo de deformaciones 6 Campo de esfuerzos Al reemplazar en la ley de Hooke usando un coeficiente de Poisson igual cero se obtiene: siendo los otros esfuerzos nulos. Momento flector Observe que aquí el momento negativo produce tracción en la fibra superior 8 Momento flector 9 Momento de inercia Centro de gravedad, área y momento de inercia al rededor del eje y para algunas secciones transversales de viga 10 Sentidos positivos de la carga 11 PTV para vigas + + 12 13 + + 14 Ecuaciones diferenciales de la viga de Euler-Bernoulli + -q q es positiva hacia arriba + Aquí se hace la sumatoria de 15 momentos Solución mediante el comando bvp5c de MATLAB 16 Solución mediante el comando bvp5c de MATLAB (para E, I constantes) Se obtiene por lo tanto el sistema de ecuaciones: La solución de este sistema con bpv5c brindará: 17 Condiciones de apoyo Q Q 18 EJEMPLO 1 19 20 EJEMPLO 2 21 22 23 Interpolación polinómica de Hermite Polinomio interpolador de Lagrange 24 Interpolación polinómica de Hermite 25 26 Elemento finito hermítico de dos nodos 27 28 29 O sea: 30 31 Las funciones de forma pertenecen a la familia de los llamados polinomios de Hermite 32 Curvatura en el punto de coordenada ξ 33 34 + + Esta matriz coincide con aquella obtenida por los métodos vistos en Estructuras III 35 + positivo hacia arriba + + 36 Cálculo de momento flector y fuerza cortante Observe que los momentos flectores varían de forma lineal y las fuerzas cortantes son constantes dentro del elemento 37 positivo hacia arriba + 38 EJEMPLO 39 Puntos óptimos para el cálculo de esfuerzos y deformaciones 40 flectores Repaso de mínimos cuadrados 41 Puntos óptimos para el cálculo de esfuerzos y deformaciones 42 Propiedad de las raíces del polinomio de Legendre Suponga que tenemos un polinomio de grado n y otro de grado n-1 obtenido por medio de un ajuste por mínimos cuadrados del anterior. Ambos polinomios se intersectan en la ubicación de las raíces del polinomio de Legendre de orden n 43 44 Cuadraturas de Gauss Legendre 45 46 47 48 Este criterio para el cálculo de esfuerzos es también válido en más dimensiones 49 Puntos óptimos para el cálculo de esfuerzos y deformaciones flectores 50 La viga de Timoshenko

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