• Document: Agrégation de Mathématiques Exercices d algèbre linéaire
  • Size: 99.44 KB
  • Uploaded: 2019-02-12 20:57:53
  • Status: Successfully converted


Some snippets from your converted document:

Agrégation de Mathématiques Exercices d’algèbre linéaire P. HUBERT La plupart des exercices ci-dessous se trouvent dans les livres suivants : - E. Leichtnam, X. Schaeur, Exercices corrigés de mathématiques posés à l’oral des concours de polytechnique et des écoles normales supérieures (tome 1, 2). - R. Mneimné, Testard, Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques, - D. Perrin, Cours d’Algèbre, - E. Ramis, C. Deschamp, J. Odoux, Cours de mathématiques spéciales (tome 1). Les indications sont mentionnées entre [[ ]]. Les exercices les plus difficiles sont repérés par une ∗ et ceux qui font partie intégrante du cours par un . Dans tous les exercices, E est un espace vectoriel de dimension n sur un corps K. 1 Espaces vectoriels, endomorphismes : quelques résultats généraux Exercice 1  : Soit u appartenant à L(E) et pour tout k appartenant à IN, notons N k le noyau de uk et F k l’image de uk . 1. Montrer que les N k forment une suite croissante pour l’inclusion et que k 0 = inf {k ≥ 0, tels que Nk = Nk+1 } est bien défini. 2. Montrer que, pour tout k ≥ k0 , Nk = NkO et Fk = Fk0 . 3. Si k0 > 0, montrer que E = NkO ⊕ FkO . 4. Montrer que NkO et FkO sont stables par u, que la restriction de u à NkO est un endomorphisme nilpotent, que la restriction de u à FkO est un endomorphisme inversible. Exercice 2: Soit K un corps infini et E1 , . . . , Es des sous-espaces stricts de E. Montrer que E 6= ∪si=1 Ei . 1 2 Exercice 3: 1. Soient f et g appartenant à L(E) tels que g + h est inversible et gh = 0. Montrer que rg(g) + rg(h) = n. 2. * Soit E un espace vectoriel de dimension nq et f appartenant à L(E) tel que f q = 0 et rg(f ) = (q − 1)n. Prouver que rg(f q−1 ) = n. [[Appliquer le théorème du rang à f , f|Im(f ) , ..., f|Im(f q−1 ) ]] Exercice 4: 1. Soit u un endomorphisme de E tel que un = 0 et un−1 6= 0. Montrer qu’il existe une base B dans laquelle : 0 1 0 ... 0    0 0 1 ... 0    ...     M atB (u) = N =     ...   0 0 0 ... 1     0 0 0 ... 0 2. Montrer que M appartient à K[N ] si et seulement s’il existe a0 , . . . , an−1 ∈ K tels que a0 a1 a2 . . . an−1    0 a0 a1 . . . an−2    ...     M =    ...    0 0 0 . . . a1    0 0 0 . . . a0 3. A quelle condition M ∈ K[N ] est-elle inversible ? Exercice 5: [Projecteurs] 1. Soit p un projecteur, montrer que rg(p) = tr(p). [[Cette propriété est fondamentale et extrêment utile dans cet exercice ainsi que dans l’exercice 40.]] 2. Soient p et q deux projecteurs, montrer que p + q est un projecteur si et seulement si pq = qp = 0. 3. On généralise ce résultat à k projecteurs. Soient p1 , . . . , pn n projecteurs, montrer que p1 + . . . + pk est un projecteur si et seulement si, pour tout i, j ∈ {1, . . . , k}, avec i 6= j, pi pj = 0. 4. Soit p un projecteur et F un sous-espace vectoriel de E. Montrer que F est stable par p si et seulement si F = F1 ⊕ F2 où F1 = F

Recently converted files (publicly available):