• Document: Задание 2. Решение. Задание 3. Решение.
  • Size: 200.55 KB
  • Uploaded: 2019-01-13 10:22:45
  • Status: Successfully converted


Some snippets from your converted document:

Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский государственный педагогический университет О.Г. Вздорнова, И.А. Сушинцева, Н.В. Ткаленко Индивидуальные задания по дисциплине "Теория функций действительного переменного" Методическая разработка УДК 517.5 ББК 22.162 РЕЦЕНЗЕНТЫ: доктор физ.-мат. наук, проф. Т.Ф.Филиппова, ст. преп. Н.Г. Фо- мина Индивидуальные задания по дисциплине "Теория функций действительного пе- ременного". Методическая разработка / Урал. гос. пед. ун-т; Сост.: ассистенты ка- федры математического анализа О.Г. Вздорнова, И.А.Сушинцева, Н.В.Ткаленко. Екатеринбург, 2005.-21с. ISBN Предназначена для студентов 3 курса математического факультета очного и заоч- ного отделений. Включает индивидуальные задания по дисциплине "Теория функций действительного переменного" и указания к их решению. Библиогр.: 13 назв. Введение Данная методическая разработка предназначена для студентов ма- тематического факультета очного и заочного отделений и содержит ин- дивидуальные задания по дисциплине "Теория функций действительно- го переменного"с указаниями к их решению. Работа включает 8 заданий (25 вариантов в каждом) по следующим темам: – множества, операции над множествами; – взаимно однозначное соответствие, отображение множеств; – мощность множеств, счетные множества, множества мощности кон- тинуум; – структура открытых и замкнутых множеств; – измеримость множеств, мера Лебега, измеримые функции; – интеграл Лебега. Ниже приведены методические указания к решению задач. 1. Методические указания к решению Задание 1. Определить и изобразить на рисунках множества A, B, A ∪ B, A ∩ B, A\B, B\A, A∆B, где A = {(x, y) ∈ R2 : |x| 6 1, |y| 6 1}, B = {(x, y) ∈ R2 : |x−1| 6 1, |y−1| 6 1} Решение. Множества A, B, C = A ∪ B, D = A ∩ B, F = A\B, G = B\A, M = A∆B изображены на Рис.1 - 7, соответственно. 3 Задание 2. Пусть A, B, C — подмножества некоторого множества X. Доказать, что (A\B) ∪ (B\A) = (A ∪ B)\(A ∩ B). Решение. Для доказательства данного равенства воспользуемся свойствами операций над множествами (ниже символом B обозначено дополнение B до всего множества X: B = X\B): (A\B) ∪ (B\A) = (A ∩ B) ∪ (B ∩ A) = ((A ∩ B) ∪ B) ∩ ((A ∩ B) ∪ A) = = (A ∪ B) ∩ X ∩ X ∩ (B ∪ A) = (A ∪ B) ∩ (B ∪ A) = = (A ∪ B) ∩ (A ∩ B) = (A ∪ B)\(A ∩ B). Задание 3. Установить взаимно однозначное соответствие (биек- цию) между отрезком [0, 1] и интервалом (0, 1). Решение. © 1 ª Выделим на интервале (0, 1) последовательность точек {xn } = n+1 , n > 1. Установим следующее соответствие: 0 → x1 , 1 → x2 , x1 → x3 , и т.д. xn → xn+2 (n > 1). Тогда множество {0, 1, 12 , 13 , . . . } 4 взаимно однозначно отобразтится на множество { 12 , 13 , 41 , . . . }. Осталь- ным точкам x ∈ [0, 1] поставим в соответствие сами точки x (x → x). Полученное отображение биективно. Задание 4. a) Доказать, что если для любого счетного A ⊂ X верно равенство |X\A| =

Recently converted files (publicly available):